VL Modellierung mit Differentialgleichungen (Heidelberg)

Vorlesung gehalten an der Universität Heidelberg

Wintersemester 2018/19

From Nov., 12, the lectures on Mondays will start at 4:15 pm (rather than 4:00) again.

Zeiten und Räume:

  • Mo. 16:15-17:45, Seminarraum C -- Vorlesung
  • Mi. 14:15-15:45, Seminarraum C -- Vorlesung
  • Di., 09:15-10:45, 02.104 (SR Statistik) -- Übung

 

Klausur/exam:  14.02.2019, 09:30-11:30 (s.t.), Seminarraum C


Sie können sich ab sofort in Muesli für die Übung anmelden.


Zielgruppe:
Die Vorlesung richtet sich an Studierende im Masterstudiengang Mathematik, kann aber auch von Studierenden im Bachelorstudiengang ab 5. Semester gehört werden. Vorkenntisse im Bereich gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen sind empfohlen. Insbesondere eignet sich der erste Teil der Vorlesung als Fortsetzung zu Gewöhnliche Differentialgleichungen aus dem Sommersemester 2018.

 

Sie finden Aufgabenblätter, Skript etc. hier.

You find problem sheets, lecture notes, etc. here.

 

Hausaufgabenblätter/Problem sheets

Auf den Hausaufgabenblättern finden Sie Aufgaben, die Sie zuhause bearbeiten sollen. Die Aufgaben treten in zwei Typen auf.

Typ A - Pflichtaufgaben. Diese Aufgaben sind von allen Studierenden zu lösen und sind in der Regel so gestellt, dass sie auch als Klausuraufgaben dienen könnten.

Typ B - Wahlpflichtaufgaben. Auf jedem Aufgabenblatt werden zwei oder drei Projektaufgaben gestellt werden, die aus mehreren Teilaufgaben bestehen und ein Beispielproblem beleuchten. Davon müssen Sie jeweils eines so bearbeiten, dass Sie in der Lage sind, Ihre Lösung in der Übung derart zu präsentieren, dass Ihre KommilitonInnen, die eine andere Wahlpflichtaufgabe gewählt haben, den Lösungsweg nachvollziehen können.

 

Übungsblätter/Practice sheets

Die ausgegebenen Übungsblätter dienen allein der Festigung des Stoffs und der Vorbereitung auf die Klausur. Die Lösungen müssen nicht abgegeben werden. Sie finden die Lösungen und vereinzelt auch Hinweise zum Lösungsweg auf der jeweils letzten Seite eines jeden Übungsblatts.

 

Inhalt

 

Die Vorlesung beschäftigt sich mit Systemen von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen, die im Rahmen der Modellierung natur- und lebenswissenschaftlicher Probleme auftreten. Der Schwerpunkt liegt in der Analyse des Lösungsverhaltens, aber auch Aspekte der Modellbildung werden angesprochen.

 

Im ersten Teil der Vorlesung werden (meist autonome) gewöhnliche Differentialgleichungen als dynamische Systeme behandelt. Dabei geht es vor allem um Gleichgewichtslösungen und deren Stabilität sowie die daraus ableitbaren Vorhersagen für das Langzeitverhalten der Lösungen. Wesentliche Hilfsmittel sind hier die Linearisierung um Gleichgewichtspunkte, Phasenraumanalyse und für periodische Lösungen Poincaré-Abbildungen und der Satz von Poincaré und Bendixson. Typische Anwendungen kommen hier aus der Populationsdynamik, Epidemiologie, der Beschreibung chemischer Reaktionen oder der klassischen Kinematik.

 

Hat man einmal die Interpretation von Phasenportraits zur Verfügung, stellt sich die Frage, wie sich dieses qualitativ verändert, wenn man die Parameter oder Struktur der Gleichungen variiert. Dies führt auf die Frage nach struktureller Stabilität und möglichen Verzweigungen, von denen wir einige kennenlernen werden. Die relevanten Begriffe sind hier etwa invariante Mannigfaltigkeiten, topologische Äquivalenz, der Satz von Hartman und Grobman und Normalformen von Verzweigungen. Die Anwendungen gleichen den bereits genannten, und es wird besonders auf die Interpretation der Verzweigungen im Rahmen des jeweils zugrunde liegenden Problems eingegangen werden.

 

Der zweite Teil der Vorlesung beschäftigt sich mit partiellen Differentialgleichungen, wobei Reaktions-Diffusionsgleichungen den größten Raum einnehmen werden. Auch hier wird wieder nach Gleichgewichtslösungen und deren Stabilität zu fragen sein. Der Zoo spezieller Lösungen (vor allem mit Anfangswerten in der Nähe instabiler Gleichgewichte) wird nun aber deutlich reichhaltiger als im Fall der gewöhnlichen Differentialgleichungen und es werden laufende Wellen und die Ausbildung stationärer oder veränderlicher Muster vorgestellt.