Differentialgleichungen in der Biologie
In diesem Seminar geht es um die Anwendung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,
um biologische Systeme zu modellieren. In Zeiten der COVID-19-
Pandemie ist die Bedeutung der Mathematik fur die Biologie und die Medizin
nicht zu ubersehen. Dieses Thema darf im Seminar nicht fehlen und die ersten
zwei Vorträge haben damit zu tun. Es sind die einzigen, außer dem zwölften, in
denen es um die Epidemiologie geht. Es gibt trotzdem eine enge Beziehung zu
den Themen der anderen Vorträge, da bei diesem ersten Thema, die Frage der
Stabilität einer stationaren Losung im Mittelpunkt steht
Im weiteren Verlauf des Seminars konzentrieren wir uns auf qualitative Eigenschaften
von Lösungen. Es werden zuerst stationäre Losungen betrachtet, also
solche die nicht von der Zeit abhangen, und es wird die Frage gestellt, ob es
fur ein gegebenes Modell und eine Wahl der Parameter dieses Modells genau
eine stationäre Losung gibt oder mehrere. Im zweiten Fall spricht man von
Multistationarität. Diese Lösungen entsprechen Gleichgewichtszuständen eines
biologischen Systems. Die Bedeutung dieser Frage fur die Differenzierung von
Zellen in der Embryonalentwicklung wurde sehr früh von Max Delbruck erkannt.
Die Multistationarität in bestimmten biochemischen Systemen ist Gegenstand
des dritten und des vierten Vortrags. Fur die biologische Bedeutung einer stationären
Lösung ist deren Stabilität von großer Bedeutung. In biologischen
Systemen sind immer Störungen vorhanden, die der Wissenschaftler nicht unter
Kontrolle hat. Deshalb haben nur diejenigen mathematischen Aussagen eine Bedeutung
fur Anwendungen, die ein Stück weit von diesen Störungen unabhängig
sind. Mit anderen Worten, sie müssen in einem geeigneten Sinne stabil sein.
Noch interessanter als die Multistationarität ist also die Multistabilität. Im
siebten Vortrag geht es um einen Beweis, dass in einem bestimmten biochemischen
System Bistabilität vorkommt. Die mathematischen Techniken, die für
diesen Beweis benotigt werden und die auch viele andere Anwendungen auf
Systeme von Differentialgleichungen in der Biologie haben werden im fünften
und im sechsten Vortrag besprochen.
Ein weiteres qualitatives Verhalten, das in der Biologie sehr wichtig ist,
ist das Auftreten von anhaltenden Oszillationen. Sie entsprechen mathematisch
periodischen Lösungen der Differentialgleichungen. Ein bekanntes Beispiel
ist die biologische Uhr, die unseren Tagesrhythmus mitbestimmt. Im neunten Vortrag
wird die Existenz von periodischen Lösungen in einem bestimmten
biochemischen System bewiesen. Der Beweis benutzt Techniken aus dem sechsten
und dem achten Vortrag. Das Ziel, das qualitative Verhalten allgemeiner
Lösungen zu beschreiben ist oft sehr schwer und kann nur unter weiteren Einschränkungen
erreicht werden. Eine hilfreiche Einschränkung ist die auf Systeme
von zwei Gleichungen. Die besonderen Möglichkeiten, die sich daraus
ergeben werden im zehnten Vortrag besprochen. In den letzten beiden Vorträgen
werden Möglichkeiten vorgestellt, bei mehr als zwei Gleichungen periodische
Lösungen auszuschließen. Die Theorie der monotonen Systeme, die im elften
Vortrag eingeführt wird kann manchmal mit den Techniken aus den zwölften
und dreizehnten Vorträgen kombiniert werden, um Teile der Theorie aus dem
zehnten Vortrag auf Systeme von drei Gleichungen zu erweitern.
13.4 Modelle aus der Epidemiologie (Tobias Uebel)
20.4 Das fundamentale Vermehrungsverhältnis (Naomi Tischer)
27.4 Anzahl von stationären Lösungen im mehrfachen vergeblichen Zyklus (Sandra Veronika Ecker)
4.5 Eindeutigkeit von stationären Lösungen für prozessive Phosphorylierung (Rutian Zhou)
11.5 Die Spitzenverzweigung (Julian Schömer)
18.5 Systeme mit verschiedenen Zeitskalen (Simon Cordes)
25.5 Bistabilität im zweifachen vergeblichen Zyklus (Robert Sauerborn)
1.6 Die Hopf-Verzweigung (Katharina Sophie Ecker)
8.6 Periodische Lösungen in der MAPK-Kaskade (Kerim Özen)
15.6 Poincare-Bendixson-Theorie und Dulac-Funktionen (Isabelle Ali Mehmeti-Göpel)
22.6 Monotone Systeme (Daniel Matthias Böhme)
6.7 Theorem von Busenberg und van den Driessche (Stefan Kiel)
13.7 Methode von Li und Muldowney (Tom Angus Splittgerber)