Asymptotische Entwicklungen
Viele Phänomene in der Natur können durch gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen beschrieben werden. In der Regel kann man diese Gleichungen nicht explizit lösen. Man kann aber Aussagen über das qualitative Verhalten der Lösungen beweisen. Für die Anwendungen sind solche Ergebnisse oft nützlicher als eine Explizite Formel. Eine häufige Vorgehensweise ist, dass man Lösungen der Gleichung, die einen interessiert durch Lösungen von einfacheren Gleichungen approximiert. Man erwartet, dass ein bestimmter Parameter in interessanten Fällen klein ist und man bekommt die approximierende Gleichung als Grenzfall in dem der Parameter Null ist. Eine Entwicklung in Potenzen des Parameters kann dann die gewünschte Informationen liefern. Diese Entwicklung konvergiert häufig nicht. Es handelt sich aber um eine asymptotische Entwicklung: wenn man die Entwicklung an einer bestimmten Stelle abbricht ist der Rest in einem geeigneten Sinne kleiner als die Reihenglieder die man behalten hat. In diesem Seminar sollen verschiedene Themen die mit asymptotischen Entwicklungen für gewöhnliche Differentialgleichungen zu tun haben behandelt werden. Insbesondere sollen Fälle betrachten werden in denen der Grenzübergang singulär ist. Diese Fälle kommen nämlich in Anwendungen häufig vor.
Literatur. Wolfgang Wasow: Asymptotic expansions for ordinary differential equations.
21.4 Existenz und Eindeutigkeit von analytischen Lösungen (Mark Wirges)
28.4 Verhalten in der Nähe singulärer Punkte (Clara Bröer)
5.5 Reguläre singuläre Punkte (Natascha Ohl)
12.5 Asymptotische Potenzreihen (Stefan Seitz)
19.5 Existenz von asymptotischen Reihen (Markus Isik)
26.5 Irreguläre singuläre Punkte (Denis Solinger)
2.6 Beweis des asymptotischen Existenztheorems (Rania Barakat)
9.6 Das Stokes-Phänomen (Artur Diener)
16.6 Verallgemeinerung mit der Jordanschen Normalform (Dominik Hosefelder)
23.6 Entwicklungen bezüglich eines Parameters (Natascha Nitzl)