In diesem Seminar geht es um Methoden zur Untersuchung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, die man als ’klassisch’ bezeichnen kann. Sie unterscheiden sich von Methoden, wo man Funktionalanalysis oder andere tiefe Theorien einsetzt. Es werden Eigenschaften von Lösungen konkreter Differentialgleichungen mit Hilfe trickreicher Anwendungen elementarer Techniken aus der Analysis analysiert. Es werden auch einfache topologische Argumente eingesetzt. Die ersten zwei Vorträge beschäftigen sich mit Schießverfahren. In den
dritten und vierten Vorträgen geht es um das Fitzhugh-Nagumo-System. Das Ausgangssystem ist ein System partieller Differentialgleichungen. Es spielt die Rolle eines Modellsystems für das Hodgkin-Huxley-System aus der Neurobiologie. Durch die Betrachtung von Wanderwellen kommt man auf ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen um das es in diesen Vorträgen geht. Der dritte Vortrag behandelt den Fall in dem ein Parameter ϵ Null ist. Im vierten Vortrag wird dann der Fall betrachtet in dem ϵ klein aber ungleich Null ist. Der
fünfte und der sechste Vortrag beschäftigen sich mit den ersten und zweiten Painlevé-Gleichungen. Diese Gleichungen werden folgendermaßen charakterisiert. Wenn man sie als komplexe Gleichungen betrachtet sind die Stellen, wo Lösungen singulär werden unabhängig von den Anfangsdaten. Diese Eigenschaft haben nur lineare Gleichungen und sechs besondere nichtlineare Gleichungen, die mit Painlevé I-VI bezeichnet werden. Der fünfte Vortrag behandelt Painlevé I, der sechste Painlevé II. Thema des siebten Vortrags sind angepasste asymptotische Entwicklungen. Es geht um Lösungen, die in verschiedenen Bereichen sehr unterschiedliche Verhalten haben. In diesen Bereichen kann man die Lösungen in einem Parameter entwickeln. Um ein globales Bild zu erhalten muss man diese Entwicklungen in den Überschneidungsbereichen anpassen durch die Wahl freier Parameter. Der achte Vortrag behandelt auch asymptotische Entwicklungen. In diesem Fall geht es um Situationen wo Potenzreihenentwicklungen nicht ausreichen um die Lösungsmenge einer Gleichung zu beschreiben und man Korrekturen hinzunehmen muss, die kleiner sind als alle Summanden in der ursprünglichen Entwicklung.
22.10 Schießverfahren, Teil1 (Mathis Kormann)
29.10 Schießverfahren, Teil 2 (Mathis Kormann)
5.11 Das Fitzhugh-Nagumo-System, Teil 1 (Paula Charlotte Schäfer)
12.11 Das Fitzhugh-Nagumo-System, Teil 2 (Paula Charlotte Schäfer)
19.11 Painléve I (Nina Kovacevic)
26.11 Painléve II (Nina Kovacevic)
3.12 Angepasste asymptotische Entwicklungen (Anna Herding)
10.12 Asymptotik jenseits aller Ordnungen (Anna Herding)