Prof. Dr. Alan Rendall
Gewöhnliche Differentialgleichungen beschreiben dynamische Prozesse. Im Allgemeinen haben wir \(n \) Funktionen \( x_i(t) \), die den Zustand eines Systems zum Zeitpunkt \(t \) darstellen. In diesem Seminar wollen wir solche Gleichungen im einfachsten nichttrivialen Fall \(n=2 \) kennenlernen. In dem Fall können wir die Unbekannten als \(x(t) \) und \(y(t) \) bezeichnen und das Paar \((x(t),y(t)) \) als Punkt in der Ebene betrachten, der sich mit der Zeit \(t \) bewegt. Damit bekommen wir ein relativ übersichtliches anschauliches Bild der Lage. Die Gesamtheit der Kurven \((x(t),y(t)) \), die durch Lösungen definiert werden heißt Phasenporträt. Im Seminar lernen wir Techniken kennen, mit deren Hilfe man für ein gegebenes System von Gleichungen die qualitativen Eigenschaften des entsprechenden Phasenporträts entdecken kann. Typische Fragen, die dabei aufkommen sind: wie viele Fixpunkte gibt es, wie viele sind stabil, sind Lösungen beschränkt, gibt es periodische Lösungen? Man sollte nicht denken, dieses Gebiet der Mathematik würde nur einfache Fragestellungen beinhalten. Dazu gehört Hilberts sechzehntes Problem, das bis heute ungelöst ist.
24.10 Hintergrund (Rendall)
31.10 Phasenporträts für lineare Systeme in der Ebene (Scholze)
7.11 Linearisierung um eine stationäre Lösung. Satz von Grobman-Hartman (Vivus)
14.11 Invariante Mannigfaltigkeiten (Seel)
21.11 Glatte Linearisierung und Resonanzen (Rendall)
28.11 Polares und quasihomogenes Aufblasen von Singularitäten (Wolf)
5.12 Die Poincaré-Kompaktifizierung (Kissel)
12.12 Poincaré-Bendixson-Theorie (Schwarz)
19.12 Hilberts sechzehntes Problem (Rendall)