Zeit: Dienstags 14:15-15:45
Raum: 04-512
Inhalt
Die Vorlesung befasst sich mit der Theorie und Anwendung von Differenzial-Differenzen-
Gleichungen (in der englischsprachigen Literatur als delay differential equations bekannt). Aus
der Perspektive des Anwenders handelt es sich dabei meist um die Modellierung von Systemen,
deren zeitliche Entwicklung nicht nur vom aktuellen Zustand, sondern zusätzlich von dem zu
(mindestens) einem früheren Zeitpunkt abhängt.
Dieser Vergangenheitsbezug verlangt zum einen ausführlichere Anfangsbedingungen als im
Fall gewöhnlicher Differenzialgleichungen, um ein wohlgestelltes Problem zu erhalten. Zum an-
deren ergeben sich durch Berücksichtigung einer solchen Verzögerung schon bei sehr einfachen
Systemen erstaunliche dynamische Eigenschaften der Lösung.
Beide Punkte werden im Theorieteil ausführlich besprochen, und eine Lösungstheorie für
Differenzial-Differenzen-Gleichungen wird entwickelt. Speziell werden typische Oszillationen,
Hopf-Verzweigungen, Stabilität, Bistabilität und Metastabilität von Lösungen diskutiert. Zu-
vor werden in einer Einführung die Unterschiede zwischen zeitlich kontinuierlichen und diskreten
dynamischen Systemen, die sich als Differenzialgleichungen einerseits beziehungsweise Differen-
zengleichungen andererseits auffassen lassen, skizziert.
Anwendungen ergeben sich in vielen Bereichen der Biologie und Medizin (Populationsdyna-
mik, Epidemiologie, Zellbiologie, biologische Uhren), Physik und Ingenieurwissenschaften (Ver-
brennungstheorie, Mechanik, Optoelektronik), Chemie (verzögerte Reaktionen) oder Wirtschaft-
und Gesellschaftswissenschaften (Verkehrsmodelle, Geldzyklus mit verzögerten Zahlungsinfor-
mationen) und einigen mehr. Der Schwerpunkt des Anwendungsteils der Vorlesung wird auf den
biologischen und medizinischen Modellen liegen. Dabei soll neben der Analyse der Gleichungen
auch auf deren Herleitung eingegangen werden, um auf die mannigfaltigen Möglichkeiten der
Fehlmodellierung hinzuweisen.
Voraussetzungen
Zum Verständnis der Vorlesung sind solide Kenntnisse der Analysis und einige Elemente der
Linearen Algebra nötig. Grundlegende Bekanntschaft mit der Theorie gewöhnlicher Differen-
zialgleichungen – insbesondere Lösungstheorie und lineare Stabilitätsanalyse von Gleichungen
erster Ordnung – ist von Vorteil, aber nicht zwingend erforderlich.
Skript
Im Verlauf der Vorlesung entsteht ein Skript, das hier kapitelweise veröffentlicht wird.
Wie üblich ist bei der ersten Auflage mit diversen Tipp- und anderen Fehlern zu rechnen. Für Hinweise auf solche bin ich stets dankbar.
Skript_DDE_2015 (nunmehr komplett)