Jenseits des Satzes über implizite Funktionen
Aus der Analysis 2 kennt man den Satz über implizite Funktionen und den
eng verwandten Satz über die Umkehrfunktion. Eine Zentrale Voraussetzung
in diesen Sätzen ist dass ein bestimmter linearer Operator maximalen Rang
hat. In diesem Seminar geht es um die Frage was man machen kann, wenn
diese Voraussetzung nicht erfüllt ist. Man hat z. B. eine Abbildung \(R^n → R^n\) mit
Rang \(n − 1\). Der Beantwortung dieser Frage dient die Ljapunow-Schmidt-Theorie.
Sie zeigt, wie man eine Gleichung \(f (x, α) = 0\), \(x ∈ R^n\) auf eine Gleichung
\(g(y, α) = 0\), \(y ∈ R^m\), \(m < n\) reduzieren kann. Da diese Theorie im Seminar
eine so zentrale Rolle spielt kürze ich sie hier als LS-Theorie ab. Auf der
einen Seite soll ein allgemeines Verständnis der LS-Theorie erreicht werden.
Auf der anderen Seite soll die Theorie durch interessante Anwendungen aus
Physik, Chemie und Biologie illustriert werden.
Zuerst werden grundlegende Ideen der LS-Theorie am Beispiel der Heugabel-
Verzweigung entwickelt. Dann wird ein komplizierteres Beispiel, den kontinuier-
lichen Rührkessel, betrachtet. Nach diesen Beispielen wird die allgemeine LS-
Theorie im Fall \(m = 1\) betrachtet. Anschließend wird diskutiert, dass man \(R^n\) in
der LS-Theorie durch einen unendlichdimensionalen Banachraum ersetzen kann.
Damit diskutiert man dann die Elastica und Reaktions-Diffusions-Gleichungen.
19.4 Die Heugabel-Verzweigung und endliche Bestimmung (Esma Nur Demir)
26.4 Universelle Entfaltungen und Stabilität (Nadja Barvinek)
3.5 Der kontinuierliche Rührkessel (Pierre Falk)
10.5 Die Ljapunow-Schmidt-Theorie (Nina Kovacevic)
17.5 Stabilität und Ljapunow-Schmidt-Theorie
24.5 Ljapunow-Schmidt-Theorie im unendlichdimensionalen Fall (Rene Pascal Vogt)
31.5 Die Elastica (Karsten Kroth)
7.6 Ljapunow-Schmidt-Theorie mit Symmetrie (Alisa Sabine Kannen)
14.6 Skalare Reaktions-Diffusions-Gleichungen. (Patrick Josef Schäfer)